Я аккуратненько разобрал брелок и обнаружил на пружинке (наверное антена) круглую темную прокладочку-резинку. Так как с однойй её стороны был круглый отпечаток и путем манипуляций сообразил, что она когда-то была между корпусом и торцом той самой пружинки. Потом почистил спиртом контакт первой кнопк...